Infinite
이 글은 고등학교 2학년 수학II 과정의 부정형의 극한과
무한대끼리의 대소 관계의 관한 글이다.
고등학교 수학II 문이과 공통 과정에서 부정형의 극한을 배운다.
수업을 들으면서 부정형이 왜 부정형인지에 대한 이유를 수학적으로 들을 수 없었다.
뭔가 두리뭉실 하고, 납득이 가지 않는 느낌이었다.
이 글은 그에 대한 답변이다.
무한대란, "한없이 커져가는 상태"를 나타내는 말이다.
이런 무한대의 어떻게 대소 관계가 존재할 수 있다는 말일까?
생각을 해보자.
∞, ∞^2
이 무한대 둘 중 어느 게 더 크다고 할 수 있을까?
무한대(∞)라는 것은 "상태"를 나타내는 기호인데 ∞^2이
∞ 보다 크다고 할 수 있을까?라고 생각했다.
하지만 이런 생각은 무한대라는 것이 실수처럼 단 1개라는 생각에서 시작된다.
우리는 1, 2, 3, 4...와 같은 실수를 보며, 1은 1이라는 숫자에
2는 2라는 숫자에 이렇게 일대일 대응되는 것을 볼 수 있다.
한마디로 숫자는 그 값을 수직선에 정확히 찍을 수 있고,
우리가 보는 1이라는 숫자는 항상 1고, 우리가 보는 2라는 숫자는 항상 2이다.
하지만 ∞에서는 다르다. ∞는일대일 대응이 되지 않는다.
우리가 보는 ∞는 단 하나만 있는 것이 아니다.
우리가 보는 ∞는 ∞^2일 수도 있고, ∞^3일 수도 있다.
무한대가 여러 개라는 증명은 칸토어 정리로 가능하다.
ko.wikipedia.org/wiki/%EC%B9%B8%ED%86%A0%EC%96%B4%EC%9D%98_%EC%A0%95%EB%A6%AC
칸토어의 정리 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전
위키백과, 우리 모두의 백과사전. 집합론에서, 칸토어의 정리(영어: Cantor's theorem)는 멱집합의 크기가 항상 원래의 집합의 크기보다 크다는 정리이다. 즉, 집합과 멱집합의 원소는 일대일 대응할
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독일의 수학자 게오르크 칸토어가 발견하였다.
예를 들어,
A={1, 2, 3}과 같은 집합이 있다고 하자.
B는 A의 부분집합 중 공집합을 제외한 멱집합(어떤 집합의 부분집합을 원소로 하는 집합)이라고 하자.
따라서 B는 B={{1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}이 될 것이다.
A={1,2,3,4}라고 하면 다음과 같은 B의 원소의 개수 n(B)=2^4-1(공집합)이 된다.
따라서 A가 A={1,2,3,4,5,........}이 된다면, A의 원소의 개수는 ∞이고,
B의 원소의 개수도 무한대가 된다.
하지만 항상 n(B) > n(A)이므로 A도 무한대, B도 무한대가 되며,
무한대 사이의 대소관계가 존재함을 위와 같이 증명할 수 있다.
또한, B의 부분집합을 가지고 만든 면집합 C가 있다고 생각해보았을 때,
C의 원소는 B보다 많은 개수를 가지게 된다.
Q.E.D
따라서 무한대끼리도 대소관계, 즉, "차이"라는 것이 존재하며, 따라서 무한대/무한대,
무한대-무한대와 같은 식들을 표면적으로 봤을 때 그 값을 정할 수 없는 것이다.
무한대=상수/무한대
임을 이용하면, 0/0, ∞*0과 같은 부정형의 대해서도 이유를 알 수 있다.