도함수의 정의역
1. 도함수는 미분가능한 함수 y=f(x)의 정의역에 속하는 모든 x의 값에 미분계수 f'(x)를
대응시켜 만든 새로운 함수를 함수 y=f(x)의 도함수라고 하고, 이를 기호로 f'(x) 등과 같이 쓴다.
2. 도함수의 정의역은 항상 원시함수의 정의역보다 작거나 같다.
이 도함수는 사실상 x=a에서의 F(x)의 미분 계수로, 단지 미분 계수에 대해
일반화한 것과 같은데, 이 도함수는 사실 완벽하지 않다.
f'(a)를 구하기 위한 방법은 미분 계수의 정의를 이용한 방법이 메인이고,
도함수를 이용한 방법이 서브이다.
그 이유는 고등학교 과정에서는 출제 되지 않지만,
f'(21)이라는 값을 구하려 할 때, 원시함수 f(x)에서는 정의되지만
도함수 f'(x)에서는 정의되지 않는 경우가 발생할 수 있다.
따라서 이때는 도함수를 이용하지 못한다.
때문에, 도함수로 미분계수의 값을 구하지 못할 때는 미분계수의 정의로 f'(a)의 값을
구해주면 된다.
미분계수는 위와 같이 정의된다.
따라서 x!=a일 때 정의되므로, 도함수의 정의역에 우리가 구하려는 값이 포함되지
않을 때는 미분계수의 정의를 이용해 구한다.
두 번째는 그 반대의 경우다.
이는 미분 가능성에 대한 문제를 풀 때 주로 나오는데,
다음과 같은 함수의 미분 가능성을 조사해본다고 하자.
이때 풀이는 연속성을 조사하고, x>1인 함수에서의 도함수를 구하고,
x <= 2에서의 도함수를 구하고, x=1에서의 값을 대입해 같은지를 비교할 것이다.
그런데, x > 1인 함수의 도함수를 구했을 때는 어떻게 도함수에 x=1에 값을 대입할 수 있을까?
등호가 없는데도 말이다!, 생각해본 적이 있는가?
우도함수(교과서적 표현은 아니나, x=a에서의 우미분계수의 극한값으로 생각하자.)
x > 1일 때, f(x)의 우도함수의 정의역 또한, 앞에 말했던 것 때문에,
1을 포함하지 않는다.(다만, f(x)의 도함수의 정의역은 1을 당연히 포함한다.)
우도함수는 미분계수의 극한값이다.
미분계수는 이와 같이 정의되고, x!=a이므로 우도함수의 정의역에 a를 포함하지 않더라도,
미분계수의 정의의 의해 a를 대입해 구할 수 있는 것이다.
왜냐하면 우미분계수의 정의 자체가 x!=a일 때 정의되므로, 우도함수의 정의역 x가
포함을 해도, 하지 않아도 상관 없다.